数学Ⅱ

微分苦手でも極値を持つ条件を考えられるようになりませんか?

投稿日:2020年12月28日 更新日:

グラフの書き方を

利用することで

極値を持つ条件を

自力で考えられる!

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか?

  • 三次関数のグラフまでで微分は諦めてる
  • そもそも三次関数のグラフが怪しい

 

私も微分の範囲は

受験生になるまで

全く理解していませんでした。

 

できても、微分の計算だけ。

 

そこから受験勉強で

しっかりと意味を考えることで

微分が得意科目になりました。

 

今微分が苦手な人でも

この記事を読み進めていき

できることを増やしていきましょう!

 

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もしかしたら得意科目になるかもしれませんよ!

 




三次関数のグラフ

ここで簡単にグラフの書き方

おさらいしていきましょう。

 

例題(1)

例題(三次関数のグラフ)

次の関数のグラフをかけ。

(1)$\displaystyle{y=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1}$

 

 

まず微分して整理すると

$y^{\prime}=(x+1)(x-2)$

となります。

 

$y^{\prime}=0$のとき、$x=-1,2$となるので

増減表を以下のように書いてましたね。

 

よってグラフは次のように書けます。

 

例題(2)

例題2(三次関数のグラフ)

次の関数のグラフをかけ。

(2)$\displaystyle{y=\frac{1}{3}x^3-x^2+x+2}$

 

 

 

これも微分して整理すると

$y=(x-1)^2$

になります。

 

$y^{\prime}=0$のとき、$x=1$となるので

増減表を以下のように書きます。

 

よってグラフは次のように書きます。

 

2つの例題より

以上の2つの増減表を見比べると

$y^{\prime}=0$の解が

重解か2つの解があるか

で違いがありますね。

 

よって関数がしっかりと

極値を持つためには

$y^{\prime}=0$が異なる2つの実数解をもつ

ということが大事だと分かりました。

 

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これを条件として考えます!

 





 

極値を持つ条件

具体的に例題でチェックしましょう。

 

例題(極値を持つ条件)

関数$\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+2ax}$が極大値と極小値を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ。

 

STEP1

微分する

 

$f^{\prime}(x)=x^2-4x+2a$

となるので、$f^{\prime}(x)=0$は

二次方程式になる。

 

STEP2

条件を使う

 

先ほどの話から、

3次関数$f(x)$が極値を持つ

⇔$f^{\prime}(x)=0$が2つの実数解を持つ

でした。

 

よって$f^{\prime}(x)=0$の判別式を$D$とすると

$D\gt0$を満たせばいいですね。

 

ここで、

$\displaystyle{\frac{D}{4}=(-2)^2-1\cdot2a}$

$=4-2a$

なので、$4-2a\gt0$より

$a\lt2$

 

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これがこの問題で求める範囲になります!

 

最後に

いかがでしたか。

 

他の記事でもずっと言ってるように

問題集の解説は発想の順番ではない

ので、発想を覚えていきましょう。

 

ここまで読んだあなたも

ぜひとも問題集で

微分の問題を解いていってください。

-数学Ⅱ

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