数学Ⅰ

苦手な人続出!グラフが動く二次関数の最大値の考え方とは!?

投稿日:2020年12月17日 更新日:

苦手な人必見!

最大値を求めるときの場合分けを

自力で考えることができる!

 

 

あなたは次の事で困ってませんか?

  • 解説を読んでも場合分けがなぜそうなるのか分からない
  • 最大の時はこう場合分けととりあえずで覚えてる

 

 

私も高校時代の初め、

この二次関数の最大最小

悩まされていました。

 

暗記だけじゃ解けない問題

出てくるのです。

 

なのでこれを読んでいるあなたも

ぜひともこの記事を読み進めて

自力で場合分けができるようにしましょう。

 




グラフが動く問題の最大値

それでは具体的に例題で

見ていきましょう。

 

グラフが動く問題

$a$を定数とする。$0\leqq x\leqq2$における関数$f(x)=x^2-2ax-a$について、次のものを求めよ。

(1)最大値   (2)最小値

 

 

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最小値の考え方は次の記事で解説します。

 

グラフが動く最大値

順に説明します。

 

STEP1

グラフの向きを確認

 

今回の関数は$x^2$の係数が正なので

グラフは下に凸ですね。

 

STEP2

平方完成

 

$f(x)=x^2-2ax-a$

$=(x-a)^2-a^2-a$

となるので、軸は直線$x=a$

 

つまり今回は

軸が動くということが

分かります。

 

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普通の二次関数の最大値を考えるときも平方完成はしますね!

 

STEP3

グラフを左から動かして

最大値が変化するところを

見つける

 

以上のようにグラフを左から動かすと

しばらく、$x=2$ のときにグラフは

最大となりますね。

 

続けてゆっくり動かしていくと

ある所の境目から

以下のように最大値が変わります。

 

 

その境目はどこかを

ギリギリで探ると

以下の画像のようになりますね。

 

 

avatar

ちょうど最大値が同じになる瞬間が来ませんか?

 

もっと言うとこれは、

グラフの軸と範囲の真ん中が

一致してるときです。

 

そうするとこのように

場合分けを考えることが

できます。

①軸が範囲の真ん中より左ならば、$x=2$のときに最大値となる

②軸が範囲の真ん中ならば、$x=0,2$のときに最大値となる

➂軸が範囲の真ん中より右ならば、$x=0$のときに最大値となる

 

STEP4

考えた場合分けを

数式で言う

 

例題の関数$f(x)=x^2-2ax-a$は

STEP2の平方完成から

軸が直線$x=a$となってました。

 

範囲の真ん中は$x=1$ですので、

①の場合➡$a\lt1$ のとき

②の場合➡$a=1$ のとき

➂の場合➡$1\lt a$ のとき

 

と言い換えられます。

 

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これで場合分けは完成です!

 

STEP5

解答

 

以上のSTEPを踏まえて

解答は次のようになります。

解答

$f(x)=x^2-2ax-a$

$=(x-a)^2-a^2-a$

となるので、

$y=f(x)$の軸は直線$x=a$

 

①$a\lt1$ のとき

$x=2$ で最大値$f(2)=4-5a$をとる

②$a=1$ のとき

$x=0,2$ で最大値$f(0)=-1$をとる

($a=1$だから)

➂$1\lt a$ のとき

$x=0$ で最大値$f(0)=-a$をとる

以上①~➂より、

$\begin{cases} a\lt1のときx=2で最大値4-5a\\ a=1のときx=0,2で最大値-1\\ 1\lt aのときx=0で最大値-a \end{cases}$

 

 

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以上が記述答案になります。

 

最後に

いかがでしたか。

 

おさらいすると、

以下のようになります。

  1. グラフがどう動くか考える
  2. 左から動かしてどのときに最大値が変わるのかを考える
  3. 言葉で表した場合分けを数式で起こす
  4. それぞれの場合で最大値を計算

 

大事なのは、

問題集の解説は発想の順番ではない

ということです。

 

この記事を読むだけではなくて

ぜひとも問題集で何も見ずに

やってみてください!

 

 

-数学Ⅰ

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