数学Ⅰ

苦手続出part2!グラフが動く二次関数の最小値の考え方!

投稿日:2020年12月18日 更新日:

苦手な人必見!

場合分けを最小値になっても

自力で考えることができる!

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか?

  • 場合分けの考え方が分からない
  • 最大値と最小値の考え方がごちゃ混ぜになる

 

この記事は前回の記事の続きで

最小値の考え方をお伝えします。

 

ですが、

最大値はこのやり方

最小値はこのやり方

と覚えると危険です。

 

なぜ危険か分からない人は

是非この記事を読み進めていき

正しい求め方を身に付けてください!

 




グラフが動く問題の最小値

それでは具体的に例題で

見ていきましょう。

 

グラフが動く問題

$a$を定数とする。$0\leqq x\leqq2$における関数$f(x)=x^2-2ax-a$について、次のものを求めよ。

(1)最大値   (2)最小値

 

 

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今回は(2)の最小値について説明します!

 

グラフが動く二次関数の最小値の求め方

 

前回と同様に

具体的な手順を

見ていきましょう。

 

STEP1,2

グラフの向きを確認

平方完成

 

前回のSTEPで

この関数は下に凸

軸は直線$x=a$

と分かりました。

 

STEP3

グラフを左から動かして

最小値が変化するところを

見つける

 

今回は最小値なので

見るところが変わります。

 

 

徐々に左から動かすと

しばらくは$x=0$で

最小値になってます。

 

更に動かしていくと

ある所で最小値が

ずっとグラフの頂点

というところがあります。

 

以下の画像です。

 

さらに左に動かすと

また最小値が変わりますね。

 

下の画像です。

 

ここから左に動かしていっても

最小値はずっと$x=2$でとります。

 

以上から以下のように

場合分けを考えます。

①軸(または頂点)が範囲の左外ならば、$x=0$で最小値

②軸(または頂点)が範囲内ならば、頂点で最小値

➂軸(または頂点)が範囲の右外ならば、$x=2$で最小値

 

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自分の言葉で言語化してみましょう!

 

STEP4

場合分けを数式で考える

 

この関数の軸は直線$x=a$

でしたので、

 

①の場合➡$a\lt0$ のとき

②の場合➡$0\leqq a\leqq2$ のとき

➂の場合➡$2\lt a$ のとき

 

となります。

 

STEP5

解答

 

以上のSTEPを踏まえて

解答は次のようになります。

 

グラフが動く最小値の解答

$f(x)=x^2-2ax-a$

$=(x-a)^2-a^2-a$

となるので、

$y=f(x)$の軸は直線$x=a$

 

①$a\lt0$ のとき

$x=0$ で最小値$f(0)=-a$をとる

②$0\leqq a\leqq2$ のとき

$x=a$ で最小値$-a^2-a$をとる

(頂点の座標)

➂$2\lt a$ のとき

$x=2$ で最小値$f(2)=4-5a$をとる

以上①~➂より、

$\begin{cases} a\lt0のとき最小値-a\\ 0\leqq a\leqq2のとき最小値-a^2-a\\ 2\lt aのとき最小値4-5a \end{cases}$

 

 

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解答はしっかり自分の手で書いてみましょう

 




グラフの向きで考えが逆になる

以上2記事にわたって

グラフが動くときの場合分けの考え

をお伝えしました。

 

ここで間違ってほしくないのが

グラフの向きで考え方が真逆になる

ということです。

 

下の画像を見てください。

グラフが上に凸のときに

左から順に動かしていき

最小値の変化を見ていってます。

 

この時の判断は、

軸が範囲の真ん中よりどっちにあるか

になっているのが分かりますか?

 

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このようにグラフの向きによって考え方が変わるのです!

 

 

最後に

いかがでしたか。

 

手順通りに考えることが

重要ですので、

決して最大値だからこうやる

とは覚えないでください!

 

ここまで読んだあなたは

ぜひとも問題集で練習して

場合分けをマスターしてください!

 

-数学Ⅰ

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