数学Ⅰ

もう曖昧なままにしないで!これを読むだけで三角比の本質が分かる!

投稿日:2021年5月2日 更新日:

復習したくても

教科書読みたくない人

この記事を読むだけで

三角比を武器にすることができます!

 

あなたはこのように悩んでいませんか?

  • 復習したいけど教科書開くのが面倒
  • 単位円を何に使うのかが分からない
  • 三角比の表を覚えられない

 

 

私もこれらについて曖昧なまま

高校生活を過ごしていました。

 

でもしっかりと本質を知ると

受験のときに三角比で苦労することは

無くなったんです。

 

なので、ぜひともこの記事を読み進めていき

三角比の本質を理解しましょう。

 

最後に、絶対に忘れない三角比の表もお見せします!

 




三角比の決め方

まずはおさらいしましょう。

下の図を見てください。

この三角形の図で

$$\displaystyle{\sin\theta=\frac{x}{r}}$$

$$\displaystyle{\cos\theta=\frac{y}{r}}$$

$$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$$

でした。

 

ここが曖昧な人は上図のように

「s」「c」「t(筆記体)」

を三角形に書いてみます。

 

このときアルファベットの書き順通り

分母→分子

となると考えてください。

 

単位円の導入

ここからは三角比を考えるときに便利な

単位円(半径1の円)について、

お伝えしていきます。

 

まずは下図を見てください。

 

上図のように単位円上の点を1つとって

直角三角形を作ります。

 

このときの直角三角形は

次のようになります。

 

先ほどの三角比の決め方から、

$\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{1}=y}$

$\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{1}=x}$

となりますね。

 

つまり単位円上の点を1つとると、

$x$ 座標は $\cos\theta$

$y$ 座標は $\sin\theta$

になるのです。

 

さらにこのことから、

$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$

なので、$\tan\theta$ は、

単位円上の点と原点を結ぶ直線の傾き

を表しているのです。

 

まとめますと、次のようになります。

  • $\cos\theta$ は $x$座標
  • $\sin\theta$ は $y$座標
  • $\tan\theta$ は 傾き

 

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とし

単位円の使い方は数Ⅱでもでてくるので抑えておきましょう

 




三角比の相互関係

先ほどの話から、

$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

となるので、教科書で登場した

$\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

という公式が成り立ちます。

 

さらには下図

 

この直角三角形の三平方の定理より、

$y^2+x^2=1$

ですので、

${\sin}^2 \theta+{\cos}^2 \theta=1$

という公式も成り立ちます。

 

最後に、これらを使って、

$1+{\tan}^2 \theta$

$\displaystyle{=1+\frac{{\sin}^2\theta}{{\cos}^2\theta}}$($\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$を使った)

$\displaystyle{=\frac{{\cos}^2 \theta+{\sin}^2\theta}{{\cos}^2 \theta}}$ (通分)

$\displaystyle{=\frac{1}{\cos^2\theta} }$  (${sin}^2 \theta+{\cos}^2 \theta=1$を使った)

となるので一番難しい公式

$\displaystyle{1+{\tan}^2 \theta=\frac{1}{\cos^2\theta} }$

が導けます。

 

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とし

相互関係の意味は以上のようになります!

 

三角比の表

最後に三角比の表について、

一度見ると一生忘れない表

お見せします!

 

$\sin$ に注目すると、

ルートの中身が0,1,2,3,4

 

対して $\cos$ は、

ルートの中身が4,3,2,1,0

 

となっております。

 

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とし

三角比の値がなかなか覚えられない人は、上の表を使うのも1つの手です!

 

最後に

いかがでしたか。

 

近年公式などの本質を問う問題が

増えてきましたので

理解しておきましょう!

 

以上の基本事項を確認して、

ぜひ問題集の問題を解いてみましょう。

 

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とし

基礎から確実に!

-数学Ⅰ

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