数学Ⅱ

数Ⅱの壁!これだけ読めば三角不等式の解き方が分かる!

投稿日:2020年12月20日 更新日:

苦手な人でも

正しい手順を意識すれば

三角不等式が解けるようになる!

 

 

あなたは次の事で悩んでませんか?

  • 角度が$\displaystyle{2\theta+\frac{3}{4}\pi}$となった時に解けない
  • 問題集の解説を読んでも全然理解できない
  • もう一度初めから手順を知りたい

 

私も数Ⅱでこの単元を習ったとき

解けるようになるまで

ものすごく時間が掛かりました。

 

できるようになるまでは

単位円の使い方が

全然分かってなかったんです。

 

もしあなたも三角不等式が苦手なら

ぜひともこの記事を読み進めて

正しい手順で解けるようになりましょう!

 




超基本事項確認!

 

単位円上の点を1つとると、

その座標は$(\cos\theta, \sin\theta)$

となっています。

 

もしこの内容が不安だと思ったら

ぜひコチラの記事で確認してください!

 

これ以降の話は

数Ⅰの三角比の基本がわかっている人

に向けてお伝えしていきます。

 

※角度は弧度法で表していきます。

 

 

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数Ⅰからの繋がりが濃い内容です!

 

三角不等式を解く

それでは具体的に

以下の例題で説明していきます。

$0\leqq\theta\lt2\pi$のとき、次の不等式を解け。

$\displaystyle{\cos(2\theta-\frac{\pi}{3})\leqq-\frac{1}{2}}$

 

 

 

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解答の手順じゃなくて、考える順番を少しずつお伝えしていきます。

 

STEP1

角度$\displaystyle{2\theta-\frac{\pi}{3}}$を $t$ として考える

 

つまり、

$\displaystyle{\cos t\leqq-\frac{1}{2}}$

を考えます。

 

ここで単位円の出番です。

 

$\cos$ が $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ 以下ってことは

$x$ 座標が$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ 以下ってことです。

 

以下の図を見てください。

 

単位円上で$x$座標が$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$以下を満たす部分は

以上の赤色の部分になります。

 

STEP2

図で書いた該当部分を

角度で表す準備をする

 

以下の図を見てください。

 

赤色部分のはじまり

角度が$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}$のとき

赤色部分の終わり

角度が$\displaystyle{\frac{4}{3}\pi}$のとき

になりますね。

 

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$\cos\theta$が$\displaystyle{-\frac{1}{2}}$になるときの$\theta$の1つは135°ですね。

 

STEP3

範囲を確認する

 

例題の範囲は

$0\leqq\theta\lt2\pi$

ですので2倍すると

$0\leqq2\theta\lt4\pi$

ですね。

 

ちなみにこれは

単位円を二周する範囲です。

 

その後、$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$を引く

$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\lt\frac{11}{3}\pi}$

 

 

つまりこの問題では以上の図のように、

単位円上で$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}}$から二周

という範囲で考えていきます。

 

STEP4

赤色の部分を満たす

角度の範囲を考える

 

一周目で赤色の部分を満たすのは、

$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{4}{3}\pi}$

 

二周目で赤色の部分を満たすのは、

$\displaystyle{\frac{8}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{10}{3}\pi}$

 

以上のように順に範囲を出していきます。

 





 

STEP5

解答

 

以上のSTEPを踏まえて

解答は以下のようになります。

不等式の解答

$\displaystyle{2\theta-\frac{\pi}{3}=t}$とおくと、

$0\leqq\theta\lt2\pi$より、

$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\lt\frac{11}{3}\pi}$

となるので、

$\displaystyle{-\frac{\pi}{3}\leqq t\lt\frac{11}{3}\pi}$

 

この範囲で$\displaystyle{\cos t\leqq-\frac{1}{2}}$を解くと、

$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{4}{3}\pi}$, $\displaystyle{\frac{8}{3}\pi\leqq t\leqq\frac{10}{3}\pi}$

よって

$\displaystyle{\frac{2}{3}\pi\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{4}{3}\pi}$, $\displaystyle{\frac{8}{3}\pi\leqq2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq\frac{10}{3}\pi}$

各辺に$\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$を足すことにより

$\displaystyle{\pi\leqq2\theta\leqq\frac{5}{3}\pi}$, $\displaystyle{3\pi\leqq2\theta\leqq\frac{11}{3}\pi}$

各辺を2で割ることにより

$\displaystyle{\frac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\frac{5}{6}\pi}$, $\displaystyle{\frac{3}{2}\pi\leqq\theta\leqq\frac{11}{6}\pi}$

これが求める不等式の解である。

 

 

 

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解答は一度自分でも紙に書いてみましょう!

 

最後に

いかがでしたか?

 

この記事をここまで読んだら

ぜひとも問題集を開いて

手を動かしてみて下さい!

 

アウトプットも大切ですので!

 

 

-数学Ⅱ

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