数学Ⅱ

微分計算しかできない人でもこれを読めば接線の方程式も求められる!

投稿日:2020年12月28日 更新日:

求め方のパターンを

知っておくだけで

接線の方程式は完璧!

 

 

あなたはこのように悩んでませんか?

  • 接線の方程式の求め方が分からない
  • 問題集の解説を読んでも理解できない
  • 微分は計算しかできない

 

今回はそんな人へ

接線の方程式の求め方

をお伝えしていきます。

 

是非この記事を読み進めて

理解していきましょう!

 





 

基本の求め方

 

接線の方程式の公式

上の画像のようになります。

 

この式は、微分より前に習う

※の内容から考えることができます。

 

初めて微分を習ったとき

微分の定義から$f^{\prime}(a)$は

点$(a,f(a))$における傾きでした。

 

ですので上の公式になるのです。

 

avatar

直線の方程式の傾きが微分になってるだけ!

 

例題

具体的な例題で確認しましょう。

例題(接線の方程式)

曲線$y=2x^3$上の点(2,16)における接線の方程式を求めよ。

 

 

 

まず、$y=f(x)$として$f(x)=2x^3$を微分すると、

$f^{\prime}(x)=6x^2$

となるので、$x=2$のとき

$f^{\prime}(2)=6\cdot2^2=24$

 

あとは公式を見ながら、

$y-16=24(x-2)$

とするだけです。

 

すると求める方程式は

$y=24x+64$

となります。

 

avatar

まずは公式を使えるようにしましょう!

 

2曲線の共通接線の求め方

以上の求め方をベースに

共通接線の求め方を見ていきます。

例題(共通接線)

2つの放物線$y=-x^2, y=x^2-2x+5$の共通接線を求めよ。

 

 

 

STEP1

 

直線が接するということは、

交点が1つということです。

 

直線と放物線の交点を求めるときは、

$y$を消去して2次方程式を解いてました。

 

つまりこの2次方程式が重解をもつ

ということを用います。

 

avatar

接線⇔重解⇔判別式D=0を利用していきます。

 

 

STEP2

 

放物線$y=-x^2$上の点$(a,-a^2)$における

接線の方程式を求めます。

 

$y^{\prime}=-2x$なので

先ほどの方法から接線の方程式は

$y-(-a^2)=-2a(x-a)$

より

$y=-2ax+a^2$…①

となります。

 

avatar

傾きは微分したものに代入!

 




STEP3

2次方程式を作る

 

今求めた直線と$y=x^2-2x+5$は接するので

$y$を消去したあとの2次方程式

$x^2-2x+5=-2ax+a^2$

すなわち

$x^2+2(a-1)x-a^2+5=0$

は、重解を持ちます。

avatar

接する⇔重解となる!

 

STEP4

判別式を使う

 

上の方程式の判別式をDとすると

$\displaystyle{\frac{D}{4}=\{(a-1)\}^2-1\cdot(-a^2+5)}$

$=2a^2-2a-4=2(a^2-a-2)=2(a+1)(a-2)$

 

重解⇔D=0なので、$a=-1, 2$

この値を①に代入すると

$y=2x+1, y=-4x+4$

 

avatar

これが求める接線の方程式です!

 

最後に

いかがでしたか。

 

接線の方程式の基本的な求め方は

絶対にできるようにしておきましょう。

 

ここまで読んだあなたも

ぜひとも問題集等で

早速練習していきましょう。

 

-数学Ⅱ

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