数学B

漸化式は”5つの型”で判断!これだけ読めば漸化式の基本はOK!

投稿日:2021年5月6日 更新日:

漸化式が苦手な人でも

型を意識するだけで

漸化式が解けるようになる!

 

 

あなたはこのように悩んでませんか?

  • 漸化式の授業全然聞いてないから分からない
  • 教科書読んでも分からない
  • 問題集の解答を読んでも何で急にそんなことするのか分からない

 

私も受験時代

数列の勉強に入った時

漸化式に苦戦していました。

 

解き方が曖昧だったので、

少し形が変わるだけで

解けなくなります。

 

そこでこの”型”を意識することで、

解き方がパターン化されて

漸化式が解けるようになりました。

 

漸化式が苦手だという人は

ぜひともこの記事を読み進めて

漸化式をマスターしましょう!

 




超基本の型(すべてこの形にする)

前提として漸化式を解くためには、

  • 等差数列の一般項の公式
  • 等比数列の一般項の公式
  • 階差数列を利用する数列の一般項の求め方

以上の事を知っておかないといけません。

 

教科書や問題集などで

すぐに確認することができるので

そちらと合わせて読み進めて下さい。

 

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とし

特に階差数列からの求め方は必須です!

 

等差数列の型

 

例題で見ていきましょう。

$a_{1}=2,  a_{n+1}=a_{n}+5$ をみたす数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ。

 

具体的な数列はどうなっているか

$n=1,2,3,…$ を代入して見ていきます。

 

$n=1$ のとき

$a_{2}=a_{1}+5=2+5=7$

 

$n=2$ のとき

$a_{3}=a_{2}+5=7+5=12$

 

$n=3$ のとき

$a_{4}=a_{3}+5=12+5=17$

 

となるので、この数列$\{a_{n}\}$は

$2,  7,  12,  17,  …$

となります。

 

これは

初項$2$、公差$5$ の等差数列なので

$a_{n}=2+(n-1)\times5=5n-3$

となるのです。

 

大事なのは

以上の意味を説明できた上で

型をみたら等差数列と

すぐに分かるようにしてください。

 

avatar

とし

九九みたいな感じでこの型は等差数列!と変換できるようにしましょう

 

等比数列の型

 

こちらも例題を見ていきましょう。

$a_{1}=2,  a_{n+1}=5a_{n}$ をみたす数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ。

 

先ほどと同じく、

$n=1,2,3,…$ を代入して見ていきます。

 

$n=1$ のとき

$a_{2}=5a_{1}=5\times2=10$

 

$n=2$ のとき

$a_{3}=5a_{2}=5\times10=50$

 

$n=3$ のとき

$a_{4}=5a_{3}=5\times50=250$

 

となるので、この数列$\{a_{n}\}$は

$2,  10,  50,  250,  …$

となります。

 

これは

初項$2$、公比$5$ の等比数列なので

$a_{n}=2\cdot5^{n-1}$

となるのです。

 

avatar

とし

こちらも型を見ただけで等比数列と分かるようになりましょう

 

階差数列の型

 

例題を見て下さい。

$a_{1}=2,  a_{n+1}=a_{n}+n+1$ をみたす数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ。

 

こちらは代入していくのではなくて、

以下のように変形します。

$a_{n+1}-a_{n}=n+1$

 

この形は、階差数列の第$n$項は

$n+1$となっていると表しています。

 

ですので後は階差数列の解き方で

一般項を求めることができます。

 

avatar

とし

基本的にはどんな応用系でも以上の形に持っていきます!

 

方程式を使う型

 

具体的に以下の例題が出されます。

$a_{1}=2,  a_{n+1}=2a_{n}-1$ をみたす数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ。

 

結論から言いますと、

この漸化式を$b_{n+1}=pb_{n}$ と

等比数列の形に変形します。

 

avatar

とし

そうしたらすぐに一般項が出てきますね!

 

そのためには、

特性方程式とよばれる

魔法の方程式を使います。

 

$a_{n+1}=2a_{n}-1$

$x=2x-1$

と数列部分を全部$x$ と置き換えるだけです。

 

これを解くと、$x=1$ となり

これを使って、

$a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)$

と変形するのです。

 

avatar

とし

本当に合っているか心配ならば展開してみると最初の式になりますよ!

 

後は、$b_{n}=a_{n}-1$ とおくと

$a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)$

$b_{n+1}=2b_{n}$

これは等比数列の型ですね。

 

なので数列$\{b_{n}\}$の一般項が決まり、

$b_{n}=a_{n}-1$ と戻すと

数列$\{a_{n}\}$ が決まります。

 




$a_{n+1}=a_{n}+(nの1次式)$型

 

では例題を見ていきましょう。

$a_{1}=2,  a_{n+1}=2a_{n}+3n$ をみたす数列$\{a_{n}\}$の一般項を求めよ。

 

画像の通り、最終的には

方程式の型に変形します。

 

順を追って説明しますね。

 

STEP1

$n$を$n+1$に変えます。

すると、

$a_{n+1}=2a_{n}+3n$  …①

$a_{n+2}=2a_{n+1}+3(n+1)$  …②

 

avatar

とし

代入じゃなくて「変える」だけ!

 

STEP2

②ー①をすることで、

$a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_{n})+1$

となります。

 

$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$とおくと

$b_{n+1}=2b_{n}+1$

となるので

これは方程式の型ですね。

 

avatar

とし

これ以降の解き方は先ほどお伝えした通りです!

 

 

最後に

いかがでしたか。

 

以上5つの型に分けましたが、

後半2つの解き方はどれも

超基本の型に直すということです。

 

この記事を読んだあなたは

ぜひとも早速問題集で

練習していってください!

 

 

 

 

 

-数学B

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