数学Ⅰ

教科書さっぱりなあなたへ!これを読んで『絶対値』を克服しよう!

投稿日:2021年5月1日 更新日:

解き方の基本を理解すれば

どんな絶対値方程式でも

自力で考えられるようになります!

 

高校数学で数学Ⅰを習ったときに、

多くの人が壁になっているのが

この絶対値方程式です。

 

あなたもこのように困ってませんか?

  • 教科書の説明が分からないから、全部「±」で絶対値をはずしている
  • 場合分けってどうやって決まるのかが分からない

 

 

 

この記事ではそんな人のために、

自力で場合分けできるようになる考え方

をお伝えしていきます!

 

絶対値のはずし方は不等式でも使うので、

ぜひともこの記事を読み進めて下さい!

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とし

本質を理解しましょう!

 




絶対値のはずし方

まずは基本の絶対値のはずし方を

おさらいしましょう!

 

中学で習った内容で

$|-3|=3$

$|51|=51$

と絶対値をはずしていました。

 

これを以下のように考えます。

  • 絶対値の中身が正の数そのままはずす
  • 絶対値の中身が負の数「-」をつけてはずす

 

ですので、$|x|$についても

$x$が正の数ならそのままはずし

$x$が負の数なら「-」をつけてはずす

ということです。

 

これを数学らしく言うと、

\begin{eqnarray} |x| =\begin{cases} x & ( x \geqq 0 ) \\ -x & ( x \lt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}

となります。

 

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とし

絶対これで考えるようにしましょう!

 

絶対値方程式の解き方

それでは本題の絶対値方程式の解き方

をお伝えしていきます。

 

例題1

$|x-1|=3$

 

先ほどのように、

中身が正か負かで考えていきます。

 

これが場合分けです。

 

①$x-1\geqq0$(中身が正)のとき

つまり、$x\geqq1$ のときですね。

 

絶対値はそのまま外れるので、

$x-1=3$ より $x=4$

 

ここで注意してもらいたいのは、

自分が決めた場合を満たしているか

これのチェックをしないといけません。

 

自分が決めた場合とは、

$x\geqq1$ でしたので、

$x=4$ はこれを満たしています。

 

②$x-1\lt0$(中身が負)のとき

この場合も先ほどと同じように

考えていきます。

 

以上の事を踏まえて

記述例は次のようなります。

例題1解答

①$x-1\geqq0$ すなわち $x\geqq1$ のとき

$x-1=3$ より $x=4$

これは、$x\geqq1$ を満たす。

②$x-1\lt0$ すなわち $x\lt1$ のとき

$-(x-1)=3$ より $x=-2$

これは、$x\lt1$ を満たす。

①②より、求める解は $x=-2,4$

 

 

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とし

こういう記述をサッと書けるようになればOKです!

 




例題2

$|x-1|+|x+3|=4$

 

「±」をつけてはずす

としか分からない人は

この問題で困るかと思います。

 

なのでこれからお伝えする

場合分けの考え方

絶対に覚えてください。

 

手順1

2つの絶対値はどういう時に外れますか?

 

$|x-1|$ は、

  • $x-1\leqq0$ すなわち $x\leqq1$ のときそのまま
  • $x-1\lt0$ すなわち $x\lt1$ のとき-つけて

$|x+3|は、

  • $x+3\leqq0$ すなわち $x\leqq-3$ のときそのまま
  • $x+3\lt0$ すなわち $x\lt-3$ のとき-つけて

というようになりますね。

 

手順2

この4つの範囲の中で、

一番小さい範囲はなんですか?

 

$x\lt-3$ ですね。

これを満たしていたら、

$x\lt1$も自動的に満たします。

 

つまり、$x\lt-3$ の場合1つで

2つの絶対値は-つきではずれる

ということが分かりました。

 

手順3

ここからどんどん範囲を

上にあげていくイメージです。

 

先ほどは$x\lt-3$ を確認したので、

次は$x\leqq-3$ を考えます。

 

このとき$|x-1|$ はどのようにはずれますか?

  • $x\leqq1$ のときそのまま
  • $x\lt1$ のとき-つけて

ですね。

 

つまり、今$x\leqq-3$を考えていますから、

範囲を合わせてあげると

  • $-3\leqq x\lt1$ のときそのまま
  • $1\leqq x$ のとき-つけて

となります。

 

以上が場合分けの考え方になります。

 

これを踏まえて記述例は次のようになります。

例題2解答

①$x\lt-3$ のとき

$-(x-1)-(x+3)=4$

これを解いて、$x=-3$

これは $x\lt-3$ を満たさない。

②$-3\leqq x\lt1$ のとき

$-(x-1)+(x+3)=4$

これは解が定まらない。

➂$1\leqq x$ のとき

$(x-1)+(x+3)=4$

これを解いて、$x=1$

これは $1\leqq x$ を満たす。

①②➂より、求める解は $x=1$

 

 

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とし

自分で決めた場合に当てはまってるかをしっかり確認してください

 

最後に

いかがでしたか。

 

この記事では、

絶対値方程式は場合分けを考える

ということを強く推奨しました。

 

早速学校の問題集などで、

練習してください!

 

-数学Ⅰ

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